1 Введение
Математическая логика — раздел математики, изучающий математические обозначения, формальные системы, доказуемость математических суждений, природу математического доказательства в целом, вычислимость и прочие аспекты оснований математики. Применение в логике математических методов становится возможным тогда, когда суждения формулируются на некотором точном языке. Такие точные языки имеют две стороны: синтаксис и семантику. Синтаксисом называется совокупность правил построения объектов языка (обычно называемых формулами). Семантикой называется совокупность соглашений, описывающих наше понимание формул (или некоторых из них) и позволяющих считать одни формулы верными, а другие — нет.
Важную роль в математической логике играют понятия дедуктивной теории и исчисления. Исчислением называется совокупность правил вывода, позволяющих считать некоторые формулы выводимыми. Правила вывода подразделяются на два класса. Одни из них непосредственно квалифицируют некоторые формулы как выводимые. Такие правила вывода принято называть аксиомами. Другие же позволяют считать выводимыми формулы , синтаксически связанные некоторым заранее определённым способом с конечными наборами выводимых формул. Широко применяемым правилом второго типа является правило modus ponens: если выводимы формулы и , то выводима и формула .
Отношение исчислений к семантике выражается понятиями семантической пригодности и семантической полноты исчисления. Исчисление И называется семантически пригодным для языка Я, если любая выводимая в И формула языка Я является верной. Аналогично, исчисление И называется семантически полным в языке Я, если любая верная формула языка Я выводима в И.
Содержание
1 Введение
2 Конъюнкция
3 Дизъюнкция
4 Инверсия
5 Заключение
6 Список литературы
2 Конъюнкция
Конъюнкция (от лат. conjunctio союз, связь) — логическая операция, по своему применению максимально приближенная к союзу «и». Синонимы: логическое «И», логическое умножение, иногда просто «И».
Конъюнкция может быть бинарной операцией, то есть иметь два операнда, тернарной операцией, то есть иметь три операнда или n-арной операцией, то есть иметь n операндов. Чаще всего встречаются следующие варианты:
в инфиксной записи
,по аналогии с умножением в алгебре знак логического умножения может быть пропущен: ,
в префиксной записи
. Логическая функция MIN в двухзначной (двоичной) логике называется конъюнкция .
В булевой алгебре конъюнкция — это функция двух, трёх или более переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества . Результат также принадлежит множеству . Вычисление результата производится по простому правилу, либо по таблице истинности. Вместо значений может использоваться любая другая пара подходящих символов, например или или “ложь”, “истина”, но при таком обозначении необходимо дополнительно доопределять старшинство, например, , при цифровом обозначении старшинство естественно.
Результат равен , если все операнды равны ; во всех остальных случаях результат равен .
Таблицы истинности:
для бинарной конъюнкции
| a | b | |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
для тернарной конъюнкции
| x | y | z | xyz |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Операция, называемая в двоичной логике конъюнкция, в многозначных логиках называется минимум: , где , а — значность логики. Возможны и другие варианты. Как правило, стараются сохранить совместимость с булевой алгеброй для значений операндов и .
В классическом исчислении высказываний свойства конъюнкции определяются с помощью аксиом. Классическое исчисление высказываний может быть задано разными системами аксиом, и некоторые из них будут описывать свойства конъюнкции. Один из самых распространённых вариантов включает 3 аксиомы для конъюнкции:
С помощью этих аксиом можно доказать другие формулы, содержащие операцию конъюнкции.
Логический элемент, реализующий функцию конъюнкции, называется схемой совпадения.
| A | B | |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Логический элемент «И»
В компьютерных языках используется два основных варианта конъюнкции: логическое “И” и побитовое (поразрядное) “И”. В языках Pascal/Delphi оба вида конъюнкции обозначаются с использованием ключевого слова “and“, а результат действия определяется типом операндов. Если операнды имеют логический тип (например, Boolean) — выполняется логическая операция, если целочисленный (например, Byte) — поразрядная.
Логическое “И” применяется в операторах условного перехода или в аналогичных случаях, когда требуется получение результата или .
3 Дизъюнкция
Дизъюнкция (лат. disjunctio — разобщение), логи́ческое сложение, логическое ИЛИ, включающее ИЛИ; иногда просто ИЛИ — логическая операция, по своему применению максимально приближённая к союзу «или» в смысле «или то, или это, или оба сразу».
Дизъюнкция может быть бинарной операцией (иметь два операнда), тернарной операцией (иметь три операнда) или –арной операцией (иметь операндов).
Запись может быть префиксной — знак операции стоит перед операндами, инфиксной — знак операции стоит между операндами или постфиксной — знак операции стоит после операндов. При числе операндов более 2-х префиксная и постфиксная записи экономичнее.
Чаще всего встречаются следующие варианты записи:
|| | .
Логическая функция MAX в двухзначной (двоичной) логике называется дизъюнкция. Результат равен наибольшему операнду.
В булевой алгебре дизъюнкция — это функция двух, трёх или более переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции).
Результат равен , если все операнды равны ; во всех остальных случаях результат равен .
Таблицы истинности:
для бинарной конъюнкции
| a | b | |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
для тернарной конъюнкции
| x | y | z | xy z |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Операция, называемая в двоичной логике дизъюнкция, в многозначных логиках называется максимум: , где , а — значность логики.
В классическом исчислении высказываний свойства дизъюнкции определяются с помощью аксиом. Классическое исчисление высказываний может быть задано разными системами аксиом, и некоторые из них будут описывать свойства дизъюнкции. Один из самых распространённых вариантов включает 3 аксиомы для дизъюнкции:
Логический элемент 2ИЛИ
4 Инверсия
Инверсия — унарная операция над суждениями, результатом которой является суждение (в известном смысле) «противоположное» исходному. Обозначается знаком ¬ перед или чертой — над суждением. Синоним: логическое “НЕ”.
Как в классической, так и в интуиционистской логике «двойное отрицание» ¬¬A является следствием суждения A, то есть имеет место тавтология: .
Таблицы истинности:
| A | ¬ А |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
Запись ¬А читается как «не А».
5 Заключение
Логическая функция – это функция, которая устанавливает соответствие между одним или несколькими высказываниями, которые называются аргументами функции, и высказыванием которое называется значением функции. Это определение почти не отличается от определения числовой функции. Разница лишь та, что аргументом и значением числовой функции являются числа, а аргументом логической функции – высказывания.
