Числа, которыми мы привыкли пользоваться, называются десятичными и арифметика которой мы пользуемся также называется десятичной. Это потому, что каждое число можно составить из набора цифр содержащего 10 символов – цифр – “0123456789”.
Так шло развитие математики, что именно этот набор стал главным, но десятичная арифметика не единственная. Если мы возьмём только пять цифр, то на их основе можно построить пятиричную арифметику, из семи цифр – семиричную. В областях знаний связанных с компьютерной техникой часто используют арифметику в которой числа составляются из шестнадцати цифр, соответственно эта арифметика называется шестнадцатиричной.
Арифметические действия в двоичной системе производится по тем же правилам что и в десятичной системе счисления. Однако так как в двоичной системе счисления используются только две цифры 0 и 1, то арифметические действия выполняются проще, чем десятичной системе.
В этой работе рассмотрим умножение в двоичной системе счисления.
- Основная часть
Для понимания умножения в двоичной системе счисления, необходимо знать правила при сложении в двоичной системе счисления. Разберем все по порядку.
Сложение двоичных чисел.
Способ сложения столбиком в общем-то такой же как и для десятичного числа. То есть, сложение выполняется поразрядно, начиная с младшей цифры. Если при сложении двух цифр получается СУММА больше девяти, то записывается цифра=СУММА- 10, а ЦЕЛАЯ ЧАСТЬ (СУММА 10), добавляется в старшему разряду.
Так и с двоичным числом. Складываем поразрядно, начиная с младшей цифры столбиком, начиная с младшего разряда и используя таблицы двоичного сложения:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10.
При сложении необходимо помнить, что 1+1 дают нуль в данном разряде и единицу переноса в старший («на ум пошло»)
Выполним пример: 10011 + 10001.
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Первый разряд: 1+1 = 2. Записываем 0 и 1 на ум пошло.
Второй разряд: 1+0+1(запомненная единица) =2. Записываем 0 и 1 на ум пошло.
Третий разряд: 0+0+1(запомненная единица) = 1. Записываем 1.
Четвертый разряд 0+0=0. Записываем 0.
Пятый разряд 1+1=2. Записываем 0 и добавляем к шестым разрядом 1.
Переведём все три числа в десятичную систему и проверим правильность сложения.
Для проверки и перевода в десятичную систему счисления очень просто. Метод такого перевода даёт наш способ записи чисел. Возьмём, к примеру, следующее двоичное число 1011. Разложим его по степеням двойки. Получим следующее:
1011 = 1 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 1 * 20
Выполним все записанные действия и получим:
1 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 1 * 20 = 8 + 0+ 2 + 1 = 11. Таким образом, получаем, что 1011 (двоичное) = 11 (десятичное). Сразу видно и небольшое неудобство двоичной системы. То же самое число, которое, в десятичной системе записано одним знаком в двоичной системе, для своей записи требует четыре знака. Итак, проверяем:
10011 = 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 16 + 2 + 1 =19
10001 = 1*24 + 0*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20 = 16 + 1 = 17
100100 = 1*25 + 0*24 + 0*23 + 1*22 + 0*21 + 0*20 =32+4=36
17 + 19 = 36 верное равенство
Теперь приступим к нашей основной части – умножение в двоичной системе счисления.
Умножение в двоичной системе счисления.
Для начала рассмотрим следующий любопытный факт. Для того, чтобы умножить двоичное число на 2 (десятичная двойка это 10 в двоичной системе) достаточно к умножаемому числу слева приписать один ноль.
Пример. 10101 * 10 = 101010
Проверка.
10101 = 1*24 + 0*23 + 1*22 + 0*21 +1*20 = 16 + 4 + 1 = 21
101010 =1*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 +1*21 +0*20 = 32 + 8 + 2 = 42
21 * 2 = 42
Если мы вспомним, что любое двоичное число разлагается по степеням двойки, то становится ясно, что умножение в двоичной системе счисления сводится к умножению на 10 (то есть на десятичную 2), а стало быть, умножение это ряд последовательных сдвигов. Общее правило таково: как и для десятичных чисел, умножение двоичных выполняется поразрядно. И для каждого разряда второго множителя к первому множителю добавляется один ноль справа. Пример (пока не столбиком):
1011 * 101 Это умножение можно свести к сумме трёх поразрядных умножений:
1011 * 1 + 1011 * 0 + 1011 * 100 = 1011 +101100 = 110111
В столбик это же самое можно производить по тому же принципу что и в десятичной системе счисления, при этом используется таблица двоичного умножения:
0 * 0 = 0
0 * 1 = 0
1 * 0 = 0
1 * 1 = 1.
| 1 | 0 | 1 | 1 | ||
| * | 1 | 0 | 1 | ||
| 1 | 0 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | ||
| 1 | 0 | 1 | 1 | ||
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
Проверка:
101 = 5 (десятичное)
1011 = 11 (десятичное)
110111 = 55 (десятичное)
5*11 = 55 верное равенство.
- Заключение
Внутри компьютера арифметические операции в основном выполняются над двоичными числами. Порядок выполнения операции над двоичными числами проходит как и в десятичной системе счисления.
Умножение в двоичной системе счисления требует для начала понимания сложения в двоичной системе счисления.
Умножение в двоичной системе выполняется довольно просто. Умножение заменяется сдвигом столько раз, сколько разрядов в множителе. В тех разрядах, где значение рано нулю, соответствующая строка в столбике обнуляется. Затем все значения складываются. При расчете используется таблица двоичного умножения:
0 * 0 = 0
0 * 1 = 0
1 * 0 = 0
1 * 1 = 1.
